Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Обозначим площадь основания параллелепипеда $ABCD$ как $S$, а его высоту как $h$.

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле: $$V_{\text{парал}} = S \cdot h = 9$$

Теперь найдем объем пирамиды $ABCA_1$. Её основание — треугольник $ABC$, вершина — точка $A_1$.

Заметим, что треугольник $ABC$ — это ровно половина прямоугольника $ABCD$ (диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника). Поэтому: $$S_{\triangle ABC} = \frac{S}{2}$$

Высота пирамиды $ABCA_1$ от вершины $A_1$ до плоскости основания $ABC$ равна высоте параллелепипеда, то есть $h$. Это потому, что $A_1$ находится прямо над точкой $A$ на расстоянии $h$.

Объем пирамиды с треугольным основанием: $$V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{S}{2} \cdot h = \frac{1}{6} \cdot S \cdot h = \frac{1}{6} \cdot 9 = 1,5$$