ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Пирамида

Задача 27070. Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхностьПлощадь поверхности пирамиды

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

В подтеме 69 задач
Разбор
Главная идея: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды — это половина произведения периметра основания на апофему; апофему находим по Пифагору из бокового ребра и половины стороны основания.

Боковая поверхность правильной пирамиды состоит из 6 одинаковых равнобедренных треугольников (по числу сторон основания). Каждый треугольник имеет основание 10 (сторона шестиугольника) и два боковых ребра по 13.

Для нахождения площади каждого треугольника нужна высота этого треугольника, проведённая к основанию — это апофема пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный:

  • боковым ребром пирамиды (гипотенуза) — 13
  • половиной стороны основания (один катет) — 5
  • апофемой (другой катет) — hh

По теореме Пифагора: h=132−52=169−25=144=12h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12

Периметр основания (шестиугольника): P=6⋅10=60P = 6 \cdot 10 = 60

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: S=12P⋅h=12⋅60⋅12=360S = \frac{1}{2} P \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 12 = 360

Эта формула работает, потому что сумма площадей всех боковых треугольников равна 6⋅12⋅10⋅126 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12, что равносильно половине произведения периметра на апофему.

Типичные ошибки

  • Ошибка в применении теоремы Пифагора: забыли, что второй катет — это половина стороны основания (5), а не сама сторона (10)
  • Забыли умножить площадь одного треугольника на 6 или неправильно применили формулу с периметром
  • Спутали апофему (высота боковой грани) с высотой пирамиды (от вершины к центру основания)

Похожие задачи (другие числа)