Задача 501189. Пирамида

В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат, O — центр основания (точка пересечения диагоналей). Диагональ BD = 8, поэтому диагонали основания делятся пополам: $BO = OD = 4$. Так как ABCD — квадрат с диагональю 8, то $OC = 4$ (половина второй диагонали).

Точки K и M — середины рёбер CD и BC соответственно. Прямая KM соединяет середины двух смежных сторон квадрата, поэтому KM параллельна диагонали BD и $KM = \frac{1}{2}BD = 4$.

Рассмотрим плоскость основания ABC. Нужно найти линейный угол между плоскостью SMK и основанием. Для этого найдём перпендикуляр из плоскости SMK к основанию.

Прямые OC и KM пересекаются в точке H (так как KM параллельна BD, а OC пересекает BD). Отрезок OH — проекция некоторого отрезка из вершины S на плоскость основания. По расположению точек, $OH = \frac{1}{2}OC = 2$ (так как K и M — середины сторон, и геометрия симметрична).

По теореме о трёх перпендикулярах: OH ⊥ KM в основании, и если SH ⊥ KM, то угол ∠OHS — линейный угол двугранного угла между плоскостями.

Тангенс угла OHS: $$\tan(\angle OHS) = \frac{SO}{OH} = \frac{13}{2} = 6,5$$