ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Пирамида

Задача 27175. Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.3.4 Сечения куба, призмы, пирамидыСечение — параллелограмм

Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

В подтеме 69 задач
Разбор
Главная идея: Сечение проходит через середины четырёх рёбер и является средней линией для каждой из четырёх граней, поэтому его стороны равны 0,5 и взаимно перпендикулярны благодаря свойству скрещивающихся рёбер правильного тетраэдра.

Рассмотрим правильный тетраэдр с рёбрами длины 1. Нужно найти площадь сечения, проходящего через середины четырёх рёбер.

Шаг 1. Выберем четыре ребра. В тетраэдре 6 рёбер. Возьмём четыре ребра, каждые два из которых либо параллельны, либо скрещиваются, но не пересекаются. Это ребра, образующие два противоположных скрещивающихся ребра (например, одно ребро верхнего основания и одно боковое с противоположной стороны).

Шаг 2. Определим стороны сечения. Каждая сторона сечения соединяет середины двух рёбер, лежащих на одной грани тетраэдра. По свойству средней линии треугольника, такой отрезок параллелен третьей стороне грани и равен её половине. Поскольку все рёбра тетраэдра равны 1, каждая сторона сечения равна 12=0,5\frac{1}{2} = 0,5.

Шаг 3. Определим форму сечения. В правильном тетраэдре скрещивающиеся рёбра перпендикулярны друг другу. Выбранные четыре ребра образуют две пары скрещивающихся рёбер. Стороны сечения, соответствующие этим парам, будут перпендикулярны. Таким образом, сечение — это квадрат со стороной 0,5.

Шаг 4. Вычислим площадь. S=a2=(0,5)2=0,25S = a^2 = (0,5)^2 = 0,25

Типичные ошибки

  • Забыли, что средняя линия треугольника равна половине основания, а не полной стороне
  • Неправильно выбрали четыре ребра — взяли пересекающиеся, а не скрещивающиеся
  • Не учли перпендикулярность скрещивающихся рёбер и неправильно определили форму сечения (например, посчитали его прямоугольником вместо квадрата)

Ещё задачи этой подтемы