Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Установим структуру пирамиды. В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат с равными сторонами, а боковые рёбра одинаковой длины. Здесь все рёбра равны 1, значит основание — квадрат со стороной 1, и каждое боковое ребро тоже равно 1.

Рассмотрим боковые грани пирамиды — это равнобедренные треугольники. Например, боковую грань, построенную на ребре основания. Её вершины: две смежные вершины основания и вершина пирамиды. Все три стороны этого треугольника равны 1, поэтому каждая боковая грань — равносторонний треугольник.

Построим сечение через середины всех боковых рёбер. Обозначим эти четыре точки. Каждая из них лежит на своём боковом ребре, в точности в его середине.

Ключевое наблюдение: соединим две соседние точки-середины. Они лежат на двух боковых рёбрах одной и той же боковой грани (равностороннего треугольника). Отрезок между ними — это средняя линия этого треугольника, параллельная основанию грани и равная половине основания.

Основание каждой боковой грани — сторона квадратного основания пирамиды, то есть длины 1. Значит, каждая сторона сечения имеет длину $\frac{1}{2} = 0{,}5$.

Так как средние линии всех четырёх боковых граней образуют замкнутый контур и пирамида правильная, сечение — квадрат со стороной 0,5.

Площадь квадрата: $S = (0{,}5)^2 = 0{,}25$.