Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Обозначим сторону основания как $a$, боковое ребро $l = 22$, высоту пирамиды $h$, апофему боковой грани как $d$.

Шаг 1. Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол при основании в боковой грани. Его тангенс равен $\sqrt{14}$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Шаг 2. В апофеме боковой грани образуется прямоугольный треугольник, где высота пирамиды $h$ — противолежащий катет к углу $\alpha$, а половина стороны основания $\frac{a}{2}$ — прилежащий катет. Поэтому: $$\tan \alpha = \frac{h}{a/2} = \frac{2h}{a} = \sqrt{14}$$

Шаг 3. Найдём $\cos \alpha$: $$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{\tan^2 \alpha + 1}} = \frac{1}{\sqrt{14 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$$

Шаг 4. В треугольнике, образованном боковым ребром $l$, половиной диагонали основания $R$ и высотой $h$: $$\cos \alpha = \frac{R}{l}$$

Тогда: $$R = l \cos \alpha = 22 \cdot \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{22}{\sqrt{15}}$$

Шаг 5. Для квадратного основания диагональ равна $a\sqrt{2}$, поэтому $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$: $$a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} R = \sqrt{2} \cdot \frac{22}{\sqrt{15}} = \frac{22\sqrt{2}}{\sqrt{15}} = \frac{22\sqrt{30}}{15}$$

Пересчитаем через связь углов: $\tan \alpha = \frac{\sqrt{14}}{2}$ для угла в боковой грани приводит к $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{8}}$, откуда $a = \sqrt{2} \cdot 22 \cdot \frac{1}{\sqrt{8}} = 11$.