Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Обозначим сторону основания как $AC = a$. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с вершиной $S$ нужно найти связь между боковым ребром и углом наклона грани к основанию.

Шаг 1: Найдём высоту основания и расстояния от центра. В равностороннем треугольнике $ABC$ высота $AH = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ (из формулы высоты равностороннего треугольника). Точка $O$ — центр основания — делит медиану в отношении $2:1$ от вершины, поэтому: $$AO = \frac{2}{3}AH = \frac{\sqrt{3}}{3}a$$ $$OH = \frac{1}{3}AH = \frac{\sqrt{3}}{6}a$$

Шаг 2: Определим угол между гранью и основанием. Угол между боковой гранью $SAC$ и плоскостью основания — это двугранный угол, который измеряется перпендикуляром $SH$ к ребру $AC$ в плоскости грани и перпендикуляром $OH$ в плоскости основания. Угол $\angle SHO$ равен заданному углу, тангенс которого $\tan \angle SHO = \frac{\sqrt{33}}{4}$.

Шаг 3: Найдём высоту пирамиды. Из прямоугольного треугольника $SOH$: $$SO = OH \cdot \tan \angle SHO = \frac{\sqrt{3}}{6}a \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{\sqrt{33}}{24}a$$

Шаг 4: Применим теорему Пифагора в треугольнике $AOS$. $$AS^2 = AO^2 + SO^2 = \frac{a^2}{3} + \frac{33a^2}{576}$$ Приведём к общему знаменателю: $$AS^2 = \frac{192a^2}{576} + \frac{33a^2}{576} = \frac{225a^2}{576}$$ $$AS = \frac{15a}{24} = \frac{5a}{8}$$

Шаг 5: Используем условие, что боковое ребро равно 5. $$\frac{5a}{8} = 5$$ $$a = 8$$