ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Пирамида

Задача 284355. Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмыЗамечательные точки треугольника

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, MS  =  1. Найдите объем пирамиды.

В подтеме 69 задач
Разбор
Главная идея: В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания; для треугольного основания это точка пересечения медиан, поэтому MS — высота пирамиды.

Разберёмся, почему MS — это высота пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде основание — равносторонний треугольник ABC. Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (или центром масс). Для равностороннего треугольника эта точка совпадает и с центром описанной окружности, и с центром вписанной окружности — то есть это геометрический центр треугольника.

Так как пирамида правильная, её вершина S расположена на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр основания. Этот центр — точка M. Значит, отрезок MS перпендикулярен плоскости ABC, и MS = 1 — это высота пирамиды.

Теперь применим формулу объёма пирамиды: V=13Sосн⋅hV = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h

где SоснS_{\text{осн}} — площадь основания, hh — высота.

Подставляем известные значения: V=13⋅3⋅1=1V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 1 = 1

Ответ: 1.

Типичные ошибки

  • Путаница между медианой и высотой треугольника основания: медианы пересекаются в центре, но это не обязательно основание высоты пирамиды в общем случае (только в правильной пирамиде).
  • Забывают разделить на 3 при применении формулы объёма, используя просто произведение площади на высоту.
  • Неправильно интерпретируют условие «правильная пирамида»: она означает, что основание — правильный многоугольник и вершина проецируется в его центр.

Ещё задачи этой подтемы