Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

В правильной треугольной пирамиде все боковые грани — равнобедренные треугольники. Рассмотрим грань SAB: так как пирамида правильная, то SA = SB. Значит, треугольник SAB равнобедренный с основанием AB.

Так как P — середина ребра AB, отрезок SP — это медиана, проведённая из вершины S к основанию AB. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая из вершины при основании, одновременно является и высотой. Поэтому SP ⊥ AB.

Теперь найдём площадь одной боковой грани SAB: $$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SP$$

В правильной треугольной пирамиде основание ABC — правильный треугольник, поэтому AB = BC = CA = 5.

$$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15$$

Боковая поверхность пирамиды состоит из трёх равных треугольников (грани SAB, SBC, SCA): $$S_{\text{бок}} = 3 \cdot S_{SAB} = 3 \cdot 15 = 45$$