ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Пирамида

Задача 924. Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхностьПлощадь поверхности призмы

В правильной треугольной пирамиде SABC точка Q  — середина ребра AB, S  — вершина. Известно, что BC  =  7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Найдите длину отрезка SQ.

В подтеме 69 задач
Разбор
Главная идея: Площадь боковой поверхности равна трём площадям боковой грани, где SQ — апофема: S=32⋅a⋅SQS=\frac32\cdot a\cdot SQ.

Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из трёх равных боковых граней — равнобедренных треугольников со основанием, равным стороне основания.

Отрезок SQSQ — медиана, а значит и высота (апофема) грани SABSAB, проведённая к стороне AB=BC=7AB=BC=7.

Площадь одной грани: SSAB=12⋅AB⋅SQ=12⋅7⋅SQ.S_{SAB}=\frac12\cdot AB\cdot SQ=\frac12\cdot 7\cdot SQ.

Всего боковая поверхность: Sбок=3⋅12⋅7⋅SQ=212SQ.S_{бок}=3\cdot\frac12\cdot 7\cdot SQ=\frac{21}{2}SQ.

Подставляем Sбок=42S_{бок}=42: 212SQ=42 ⇒ SQ=42⋅221=4.\frac{21}{2}SQ=42\ \Rightarrow\ SQ=\frac{42\cdot 2}{21}=4.

Типичные ошибки

  • Считают площадь только одной грани (забывают множитель 3).
  • Путают апофему SQ с высотой пирамиды или с боковым ребром.
  • Теряют множитель 1/2 в формуле площади треугольника.

Ещё задачи этой подтемы