Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Боковая поверхность пирамиды состоит из пяти треугольников, прилежащих к сторонам основания. Площадь каждого такого треугольника вычисляется как половина произведения основания (стороны основания пирамиды) на высоту этого треугольника (апофему пирамиды).

Для пятиугольной пирамиды боковая поверхность выражается формулой: $$S = \frac{1}{2}Ph$$ где $P$ — периметр пятиугольного основания, $h$ — апофема (высота боковой грани).

Теперь предположим, что все рёбра пирамиды уменьшены в 2 раза. Это касается:

• всех сторон основания (они уменьшены в 2 раза)
• боковых рёбер и, как следствие, апофемы (она тоже уменьшена в 2 раза)

Периметр нового основания: $P' = \frac{P}{2}$ (сумма сторон уменьшилась в 2 раза).

Апофема новой пирамиды: $h' = \frac{h}{2}$.

Новая площадь боковой поверхности: $$S' = \frac{1}{2}P'h' = \frac{1}{2} \cdot \frac{P}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}Ph = \frac{1}{4}S$$

Подставляем исходное значение: $$S' = \frac{1}{4} \cdot 13 = 3,25$$