Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Шаг 1. Найдём площадь основания.

Основение — правильный шестиугольник со стороной $a = 4$. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$$

Подставляем $a = 4$: $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24\sqrt{3}$$

Шаг 2. Найдём высоту пирамиды.

В правильной пирамиде вершина проектируется в центр основания. Ключевой момент: расстояние от центра правильного шестиугольника до любой его стороны — это радиус вписанной окружности: $$r = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3}$$

Рассмотрим линейный угол двугранного угла между боковой гранью и основанием. Это угол в плоскости, перпендикулярной ребру (стороне основания), образованный: апофемой боковой грани и радиусом вписанной окружности основания. Они образуют прямоугольный треугольник, где $r$ — горизонтальный катет, $h$ — вертикальный катет (высота пирамиды), а угол между ними — $45°$.

Поскольку угол равен $45°$: $$\tan 45° = \frac{h}{r} = 1$$

Следовательно: $$h = r = 2\sqrt{3}$$

Шаг 3. Вычислим объём.

Формула объёма пирамиды: $$V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 2 \cdot 3 = \frac{144}{3} = 48$$