ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Пирамида

Задача 920. Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхностьПлощадь поверхности пирамиды

В правильной треугольной пирамиде SABC точка M  — середина ребра AB, S  — вершина. Известно, что BC  =  3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.

В подтеме 69 задач
Разбор
Главная идея: В правильной пирамиде боковые грани равны; медиана равнобедренного треугольника к основанию служит его высотой, что позволяет найти SM через площадь и основание.

В правильной треугольной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники (боковые рёбра равны, основание состоит из равных сторон правильного треугольника). Боковая поверхность состоит из трёх таких граней.

Шаг 1. Найдём площадь одной боковой грани SAB: SSAB=Sбок3=453=15S_{SAB} = \frac{S_{\text{бок}}}{3} = \frac{45}{3} = 15

Так как пирамида правильная, все три боковые грани имеют одинаковую площадь.

Шаг 2. Рассмотрим треугольник SAB. Это равнобедренный треугольник: SA=SBSA = SB (боковые рёбра правильной пирамиды равны), основание AB=BC=3AB = BC = 3 (стороны правильного треугольника основания).

Шаг 3. Точка M — середина AB. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая из вершины угла между равными сторонами к основанию, одновременно является высотой. Поэтому SM⊥ABSM \perp AB.

Шаг 4. Используем формулу площади треугольника через основание и высоту: SSAB=12⋅AB⋅SMS_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM 15=12⋅3⋅SM15 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot SM SM=2⋅153=303=10SM = \frac{2 \cdot 15}{3} = \frac{30}{3} = 10

Типичные ошибки

  • Забыть разделить площадь боковой поверхности на 3 и работать с полной боковой площадью вместо площади одной грани
  • Не заметить, что SM — одновременно медиана и высота равнобедренного треугольника SAB
  • Ошибиться при вычислении основания AB, забыв, что оно равно стороне правильного треугольника основания (BC)

Ещё задачи этой подтемы