Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Обозначим вершину пирамиды как $S$, а основание как треугольник $ABC$. По условию боковые рёбра $SA$, $SB$, $SC$ взаимно перпендикулярны и равны 3.

Выбор основания и высоты: Примем треугольник $ASB$ за основание пирамиды. Тогда $SC$ будет высотой, поскольку $SC$ перпендикулярен обоим рёбрам $SA$ и $SB$ (они лежат в плоскости $ASB$), следовательно, $SC$ перпендикулярен всей плоскости основания.

Площадь основания: Треугольник $ASB$ прямоугольный (угол при вершине $S$ равен $90°$, так как $SA \perp SB$). Его площадь: $$S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}$$

Объём пирамиды: Используем формулу объёма: $$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5$$