ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Пирамида

Задача 922. Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхностьПлощадь поверхности пирамиды

В правильной треугольной пирамиде SABC точка K  — середина ребра BC, S  — вершина. Известно, что SK  =  4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра AC.

В подтеме 69 задач
Разбор
Главная идея: В правильной пирамиде боковые грани — равные равнобедренные треугольники; медиана из вершины к основанию равнобедренного треугольника является высотой, что позволяет найти основание через площадь.

Шаг 1. В правильной треугольной пирамиде все три боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Боковая поверхность состоит из трёх таких граней, поэтому площадь одной грани: S△SBC=Sбок3=543=18S_{\triangle SBC} = \frac{S_{\text{бок}}}{3} = \frac{54}{3} = 18

Шаг 2. Заметим, что в правильной пирамиде все рёбра основания равны: AB=BC=ACAB = BC = AC. Треугольник SBCSBC равнобедренный (боковые рёбра SB=SCSB = SC).

Шаг 3. Точка KK — середина BCBC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая из вершины SS к основанию, одновременно является и высотой. Значит, SK⊥BCSK \perp BC.

Шаг 4. Используем формулу площади треугольника через основание и высоту: S△SBC=12⋅BC⋅SKS_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SK

Подставляем известные значения: 18=12⋅BC⋅418 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot 4

Шаг 5. Решаем уравнение: BC=2⋅184=364=9BC = \frac{2 \cdot 18}{4} = \frac{36}{4} = 9

Шаг 6. Так как пирамида правильная, все рёбра основания равны: AC=BC=9AC = BC = 9

Типичные ошибки

  • Забыли, что площадь боковой поверхности — это сумма трёх граней, и поделили 54 на 3 неправильно или пропустили этот шаг.
  • Не заметили, что SK — это высота треугольника SBC к основанию BC, и попытались использовать другие свойства.
  • Перепутали, какое ребро основания нужно найти, или забыли, что в правильной пирамиде все рёбра основания равны.

Ещё задачи этой подтемы