Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Обозначим исходную пирамиду $SABC$, где $S$ — вершина, $ABC$ — основание. Плоскость проходит через сторону основания (например, $AB$) и пересекает боковое ребро $SC$ в точке $K$, где $SK : KC = 1 : 2$.

Эта плоскость разбивает пирамиду на две части:

• Верхняя часть: пирамида $SABK$ с основанием $ABK$
• Нижняя часть: многогранник $ABKC$ (усеченная пирамида)

Для вычисления объёма верхней пирамиды $SABK$ используем, что она имеет общую высоту с исходной, проведённую из $S$ на плоскость $ABC$. Но ключ — в сравнении через объёмы подобных фигур.

Рассмотрим две пирамиды: $SABC$ и $SABK$. Они имеют общее основание $AB$. Отношение их объёмов равно отношению высот из вершин $C$ и $K$ на прямую $AB$.

Поскольку $K$ делит $SC$ в отношении $1 : 2$ от $S$, высота из $K$ к плоскости $ABC$ составляет $\frac{1}{3}$ от высоты из $S$.

Обозначим высоту пирамиды $SABC$ как $h$. Тогда высота точки $K$ над плоскостью $ABC$ равна $\frac{2h}{3}$ (так как $K$ находится на расстоянии $\frac{1}{3}$ от $S$ в направлении $C$, то есть на высоте $\frac{2h}{3}$ от основания).

Объём верхней пирамиды: $V_{SABK} = \frac{1}{3} \cdot S_{AB} \cdot \frac{h}{3} = \frac{1}{9} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} V_{исходной} = 5$.

Объём нижней части: $V_{нижняя} = 15 - 5 = 10$.