ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Пирамида

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

В подтеме 69 задач
Разбор
Главная идея: Отсечённая пирамида имеет ту же высоту, но основание в 4 раза меньше по площади (из-за подобия с коэффициентом 1/2), так что объём уменьшается в 4 раза.

Обозначим исходную пирамиду как SABC с вершиной S и основанием ABC. Её объём равен 12.

Плоскость сечения проходит через вершину S и среднюю линию основания. Средняя линия треугольника ABC соединяет середины двух сторон — пусть это будут точки M и N на сторонах AB и AC соответственно.

Отсечённая пирамида имеет вершину S и основание — треугольник AMN (образованный вершиной A и серединами двух прилежащих сторон).

Найдём отношение объёмов. Высота пирамиды SAMN совпадает с высотой исходной пирамиды (обе опущены из S на плоскость ABC), поэтому высоты одинаковы.

Площадь треугольника AMN относится к площади ABC следующим образом: средняя линия параллельна третьей стороне BC и равна половине её длины. Треугольник AMN подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия k=12k = \frac{1}{2} (так как AM = 12\frac{1}{2}AB и AN = 12\frac{1}{2}AC, угол A общий).

Площадь подобного треугольника меньше в k2=(12)2=14k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} раза.

Согласно формуле объёма пирамиды V=13ShV = \frac{1}{3}Sh, при одинаковой высоте объёмы относятся как площади оснований.

Поэтому: VAMN=14⋅12=3V_{AMN} = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3

Типичные ошибки

  • Ошибка в определении треугольника сечения — нужно взять треугольник, образованный вершиной пирамиды и средней линией основания, а не какую-то другую фигуру
  • Неправильный расчёт площади подобного треугольника — забывают, что при коэффициенте подобия k площадь меняется в k2k^2 раз, а не в k раз
  • Путаница между объёмом отсечённой и оставшейся части — в задаче просят именно объём отсечённой пирамиды SAMN
Непонятно?

Похожие задачи