Задача 77154. Пирамида

Обозначим площадь основания параллелепипеда $ABCD$ как $S$, а его высоту как $h$.

Объем параллелепипеда: $$V_{пар} = S \cdot h$$

Анализ пирамиды $ABDA_1$: Эта пирамида имеет основание $ABD$ и вершину $A_1$. Треугольник $ABD$ — это половина прямоугольника $ABCD$ (диагональ делит прямоугольник на две равные части), поэтому: $$S_{\triangle ABD} = \frac{S}{2}$$

Высота пирамиды от вершины $A_1$ до плоскости основания $ABCD$ равна высоте параллелепипеда $h$.

Объем пирамиды: $$V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{S}{2} \cdot h = \frac{S \cdot h}{6}$$

Связь между объёмами: $$V_{пар} = S \cdot h = 6 \cdot \frac{S \cdot h}{6} = 6 \cdot V_{пир}$$

Так как $V_{пир} = 3$: $$V_{пар} = 6 \cdot 3 = 18$$