Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Обе пирамиды — шестиугольная SABCDEF и треугольная SABC — имеют общую вершину S и одинаковую высоту h, опущенную из S на плоскость основания.

Поскольку высоты одинаковые, объёмы пирамид связаны через площади их оснований: $$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$$

Поэтому: $$\frac{V_{SABCDEF}}{V_{SABC}} = \frac{S_{ABCDEF}}{S_{ABC}}$$

Теперь найдём отношение площадей оснований. Правильный шестиугольник ABCDEF можно разделить на 6 равных равносторонних треугольников, все они сходятся в центре. Треугольник ABC — это один из этих треугольников, но он расположен иначе.

На самом деле, если соединить центр O шестиугольника с вершинами, получится 6 треугольников. Треугольник ABC (где A, B, C — последовательные вершины шестиугольника) содержит ровно одну такую область (треугольник OAB) и половину соседней. Проще: площадь ABC составляет 1/6 часть площади всего шестиугольника.

Следовательно: $$S_{ABCDEF} = 6 \cdot S_{ABC}$$

Отсюда: $$V_{SABCDEF} = 6 \cdot V_{SABC} = 6 \cdot 33 = 198$$