Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Обе пирамиды — треугольная SABC и шестиугольная SABCDEF — имеют общую вершину S и общую высоту h, опущенную на плоскость оснований.

Поскольку высоты одинаковые, отношение объёмов пирамид равно отношению площадей их оснований: $$\frac{V_{\text{шестиугольной}}}{V_{\text{треугольной}}} = \frac{S_{\text{шестиугольника}}}{S_{\text{треугольника}}}$$

Треугольник ABC — это часть правильного шестиугольника ABCDEF со стороной $a$. В правильном шестиугольнике диагональ AC, соединяющая вершины через одну, равна $a\sqrt{3}$ (это диаметр описанной окружности, делённый на корень из 3). Треугольник ABC равнобедренный с углами 30° при основании AC и боковыми сторонами AB = BC = $a$.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$: $$S_{\text{шестиугольника}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$$

Площадь равнобедренного треугольника ABC с боковыми сторонами $a$ и углами 30° при основании: $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$$

Угол ABC = 180° − 30° − 30° = 120°, поэтому: $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(120°) = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Отношение площадей: $$\frac{S_{\text{шестиугольника}}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = 6$$

Поскольку объём треугольной пирамиды равен 1, объём шестиугольной пирамиды равен 6.