ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Пирамида

Задача 284356. Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмыЗамечательные точки треугольника

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке P. Объем пирамиды равен 1, PS  =  1. Найдите площадь треугольника ABC.

В подтеме 69 задач
Разбор
Главная идея: В правильной пирамиде высота проходит через центроид основания; используя формулу объёма пирамиды, выражаем площадь основания через объём и высоту.

В правильной треугольной пирамиде основание — равносторонний треугольник ABC. Медианы этого треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (или центром масс). Для равностороннего треугольника центроид совпадает с центром описанной и вписанной окружности — обозначим эту точку P.

Так как пирамида правильная, вершина S расположена так, что SP перпендикулярна плоскости основания. Значит, SP — это высота пирамиды, и PS = 1.

Для объёма пирамиды используется формула: V=13Sосн⋅hV = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

где SоснS_{осн} — площадь основания, h — высота пирамиды.

Подставляем известные значения: объём V=1V = 1, высота h=PS=1h = PS = 1.

1=13Sосн⋅11 = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot 1

Умножаем обе части на 3: Sосн=3S_{осн} = 3

Площадь треугольника ABC равна 3.

Типичные ошибки

  • Забыли, что в правильной пирамиде высота опускается именно в центр основания, а не в произвольную точку
  • Ошибки в формуле объёма: перепутали, что высота умножается, а не делится на 3
  • Неправильно применили коэффициент при выражении площади — забыли домножить на 3

Ещё задачи этой подтемы