Задача 704174. Пирамида

Шаг 1. Определяем соотношение треугольников KMP и ABC

Соединим точки K, M и P — середины сторон AB, BC и AC треугольника ABC. Стороны KM, MP и KP являются средними линиями треугольника ABC. По свойству средней линии каждая из них параллельна соответствующей стороне исходного треугольника и равна её половине.

Это означает, что треугольники KMP и ABC подобны с коэффициентом подобия $k = 2$ (стороны ABC в два раза больше сторон KMP).

Шаг 2. Находим отношение площадей оснований

Когда треугольники подобны с коэффициентом $k = 2$, их площади относятся как квадрат коэффициента: $$\frac{S_{KMP}}{S_{ABC}} = \frac{1}{k^2} = \frac{1}{4}$$

Следовательно, $S_{KMP} = \frac{1}{4}S_{ABC}$.

Шаг 3. Вычисляем объёмы

Обе пирамиды SKMP и SABC имеют общую вершину S и одинаковую высоту $h$ (расстояние от S до плоскости ABC), поскольку основание KMP лежит в плоскости ABC.

Объём пирамиды SABC: $$V_{SABC} = \frac{1}{3}h \cdot S_{ABC} = 24$$

Объём пирамиды SKMP: $$V_{SKMP} = \frac{1}{3}h \cdot S_{KMP} = \frac{1}{3}h \cdot \frac{1}{4}S_{ABC} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}h \cdot S_{ABC}\right) = \frac{1}{4} \cdot 24 = 6$$