ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Пирамида

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхностьПлощадь поверхности пирамиды

В правильной треугольной пирамиде SABC точка N  — середина ребра BC, S  — вершина. Известно, что AB  =  1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SN.

В подтеме 69 задач
Разбор
Главная идея: Боковая поверхность правильной пирамиды вычисляется по формуле через полупроизведение периметра основания и апофемы; в правильной треугольной пирамиде апофема совпадает с отрезком от вершины до середины стороны основания.

В правильной треугольной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Апофема пирамиды — это высота боковой грани, опущенная из вершины S на основание ребра. Поскольку основание ABC — равносторонний треугольник со стороной AB = 1, то BC = CA = 1, и периметр основания равен:

PABC=3⋅1=3P_{ABC} = 3 \cdot 1 = 3

Так как пирамида правильная, точка N (середина BC) служит основанием апофемы боковой грани SBC. Отрезок SN перпендикулярен BC и является апофемой этой грани.

Площадь боковой поверхности складывается из трёх равных треугольников. Каждый из них имеет основание, равное стороне основания пирамиды, и высоту SN (апофему). Поэтому:

Sбок=3⋅12⋅AB⋅SN=12⋅PABC⋅SNS_{\text{бок}} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SN = \frac{1}{2} \cdot P_{ABC} \cdot SN

Подставим известные значения Sбок=3S_{\text{бок}} = 3 и PABC=3P_{ABC} = 3:

3=12⋅3⋅SN3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot SN

SN=2⋅33=2SN = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2

Типичные ошибки

  • Путают апофему пирамиды с высотой пирамиды — апофема лежит в боковой грани, а не внутри пирамиды
  • Забывают, что периметр равностороннего треугольника нужно найти через длину стороны, а не наоборот
  • Ошибочно применяют формулу площади одного треугольника вместо полной боковой поверхности
Непонятно?

Похожие задачи