Задача 284352. Пирамида

В правильной треугольной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Апофема пирамиды — это высота боковой грани, опущенная из вершины S на основание ребра. Поскольку основание ABC — равносторонний треугольник со стороной AB = 1, то BC = CA = 1, и периметр основания равен:

$$P_{ABC} = 3 \cdot 1 = 3$$

Так как пирамида правильная, точка N (середина BC) служит основанием апофемы боковой грани SBC. Отрезок SN перпендикулярен BC и является апофемой этой грани.

Площадь боковой поверхности складывается из трёх равных треугольников. Каждый из них имеет основание, равное стороне основания пирамиды, и высоту SN (апофему). Поэтому:

$$S_{\text{бок}} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SN = \frac{1}{2} \cdot P_{ABC} \cdot SN$$

Подставим известные значения $S_{\text{бок}} = 3$ и $P_{ABC} = 3$:

$$3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot SN$$

$$SN = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2$$