Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Когда все рёбра пирамиды увеличиваются в одинаковое число раз, исходная пирамида и новая пирамида становятся подобными фигурами.

Шаг 1: определение коэффициента подобия. По условию все рёбра увеличиваются в 2 раза. Это означает, что коэффициент линейного подобия равен $k = 2$.

Шаг 2: применение теоремы о подобных телах. Для подобных трёхмерных фигур площади поверхностей относятся как квадрат коэффициента подобия: если линейные размеры увеличиваются в $k$ раз, то площади увеличиваются в $k^2$ раз.

Это верно для каждой грани пирамиды отдельно. Все грани исходной пирамиды (боковые треугольники и основание) подобны соответствующим граням новой пирамиды с коэффициентом 2. Поэтому каждая грань увеличивает площадь в $2^2 = 4$ раза.

Шаг 3: вычисление общего увеличения. Поскольку каждая часть поверхности пирамиды увеличивается в 4 раза, вся поверхность увеличивается в $4$ раза.

$$k_{\text{площади}} = k^2 = 2^2 = 4$$