Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

В правильной треугольной пирамиде основание — равносторонний треугольник, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Поскольку L — середина ребра BC, а пирамида правильная, отрезок SL является апофемой (высотой боковой грани SAB на сторону основания). Дано, что $SL = 2$.

Для площади боковой поверхности правильной пирамиды используется формула: $$S_{\text{бок}} = p \cdot l$$ где $p$ — полупериметр основания, $l$ — апофема.

Основание — равносторонний треугольник со стороной $AB = BC = AC = a$ (обозначим неизвестную длину через $a$).

Периметр основания: $P = 3a$

Полупериметр: $p = \frac{3a}{2}$

По условию площадь боковой поверхности равна 3: $$SL \cdot p = 3$$ $$2 \cdot \frac{3a}{2} = 3$$ $$3a = 3$$ $$a = 1$$

Следовательно, $AB = 1$.