Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Обозначим высоту исходной пирамиды SABCD как $h$, а площадь её квадратного основания как $S$.

Дано, что объём пирамиды SABCD равен 12: $$V_{SABCD} = \frac{1}{3}Sh = 12$$

Теперь найдём объём пирамиды EABC. Её основание — треугольник ABC, который получается, если взять половину квадратного основания ABCD (диагональ AC делит квадрат пополам). Поэтому площадь основания ABC равна: $$S_{ABC} = \frac{S}{2}$$

Высота пирамиды EABC — это расстояние от точки E до плоскости ABC. Так как E лежит на ребре SB и является его серединой, она находится на половине пути от B к S. Высота пирамиды SABCD опускается из S перпендикулярно плоскости ABCD. Поскольку E — середина SB, расстояние от E до плоскости ABC составляет половину расстояния от S: $$h_E = \frac{h}{2}$$

Теперь вычислим объём EABC по формуле $V = \frac{1}{3}Sh$: $$V_{EABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h_E = \frac{1}{3} \cdot \frac{S}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{3}Sh \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3$$