Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

Обозначим пирамиду SABCD, где ABCD — прямоугольное основание. Грань ASB перпендикулярна основанию, а три остальные грани (SAD, SBC, SDC) наклонены к плоскости основания под углом 60°.

Шаг 1. Определяем положение высоты. Поскольку грань ASB ⊥ основанию, высота пирамиды SH лежит в плоскости этой грани и перпендикулярна ребру AB. Высота SH = 6 по условию.

Шаг 2. Анализируем треугольник ASB. Углы SAB и SBA — это углы между боковыми гранями SAD и SBC и плоскостью основания, которые равны 60°. Следовательно, в треугольнике ASB оба угла при основании равны 60°, поэтому третий угол ASB также 60°. Треугольник ASB равносторонний.

В равностороннем треугольнике высота связана со стороной: $SH = \frac{AB\sqrt{3}}{2}$.

Отсюда: $AB = \frac{2SH}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$.

Шаг 3. Находим вторую сторону основания. Пусть G — середина DC. Треугольник SGH прямоугольный (H проецируется на AB, угол при H прямой). Угол SGH = 60° — это угол наклона грани SDC к основанию.

Из прямоугольного треугольника SHG: $$HG = SH \cdot \cot 60° = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$

Поскольку G — середина DC и ABCD — прямоугольник, получаем AD = 2HG = $4\sqrt{3}$.

Шаг 4. Вычисляем объём. Площадь основания: $$S_{ABCD} = AB \cdot AD = 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 48$$

Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 6 = 48$$