Задача 27089. Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмыОтношение длин, площадей, объемов подобных фигур

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

В подтеме 69 задач

Разбор

Главная идея: Объём пирамиды прямо пропорционален высоте при фиксированном основании, поэтому увеличение высоты в

k

раз влечёт увеличение объёма в

k

раз.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}Sh$

где $S$ — площадь основания, $h$ — высота пирамиды.

Пусть исходный объём равен $V_1 = \frac{1}{3}Sh$ .

Если высоту увеличить в 4 раза, то новая высота станет $h_2 = 4h$ . Площадь основания при этом не изменяется.

Новый объём: $V_2 = \frac{1}{3}S \cdot 4h = 4 \cdot \frac{1}{3}Sh = 4V_1$

Найдём отношение объёмов: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{4V_1}{V_1} = 4$

Таким образом, объём пирамиды увеличится в 4 раза.

Путаница с коэффициентом пропорциональности: забывают, что высота входит в формулу с коэффициентом $\frac{1}{3}$ , но это не влияет на отношение объёмов
Изменение площади основания: ошибочно предполагают, что при изменении высоты меняется и площадь основания
Неправильное применение степеней: при увеличении линейного размера в $k$ раз объём увеличивается в $k$ раз (не в $k^3$ , так как меняется только один линейный параметр)

Ещё задачи этой подтемы