ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 3Пирамида

Задание 3 ЕГЭ, математика (профиль): Пирамида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 35.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмыЗамечательные точки треугольника

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка MS.

В подтеме 69 задач
Разбор
Главная идея: В правильной пирамиде отрезок от вершины к центру основания — это высота, и объём вычисляется через формулу V = (1/3)·S_осн·h.

В правильной треугольной пирамиде основание — равносторонний треугольник. Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, называемой центроидом. Для равностороннего треугольника центроид совпадает с центром описанной и вписанной окружностей.

Поскольку пирамида правильная, вершина S проецируется на центр основания. Значит, точка M (где пересекаются медианы) — это ортогональная проекция вершины S на плоскость ABC. Следовательно, отрезок MS перпендикулярен плоскости основания и является высотой пирамиды.

Для объёма пирамиды используется формула: V=13Sосн⋅hV = \frac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h

где SоснS_{\text{осн}} — площадь основания, hh — высота.

В нашем случае: VSABC=13SABC⋅MSV_{SABC} = \frac{1}{3}S_{ABC} \cdot MS

Подставляем известные значения: объём равен 1, площадь основания равна 3: 1=13⋅3⋅MS1 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot MS

1=MS1 = MS

Отсюда MS=1MS = 1.

Типичные ошибки

  • Забыть, что в правильной пирамиде вершина проецируется именно в центр основания, а не просто в произвольную точку
  • Перепутать формулу объёма пирамиды с формулой объёма призмы (у призмы нет коэффициента 1/3)
  • Вычислить неправильно: например, умножить вместо деления при выражении h из формулы
Непонятно?

Похожие задачи