Задание 12: наибольшее и наименьшее значение степенных функций

О чём эта подтема

Задание 12 профильного ЕГЭ проверяет умение находить точки экстремума функции и её наибольшее (наименьшее) значение на отрезке или на всей области определения. В подтеме «степенные и иррациональные функции» чаще всего встречаются многочлены (в том числе кубические), функции с дробными и отрицательными степенями, а также функции с корнями. Задача решается стандартным алгоритмом математического анализа: находим производную, ищем критические точки, определяем характер экстремума или сравниваем значения функции на границах отрезка.

Важно понимать, что для степенных функций (например, $y=x^3+px+q$) вся работа сводится к нахождению производной — многочлена меньшей степени — и решению простого уравнения. Это одна из самых предсказуемых по структуре задач экзамена, поэтому её стоит довести до автоматизма.

Что нужно знать

1. Производная степенной функции. Для $y=x^n$ производная равна $y'=nx^{n-1}$. Для суммы слагаемых производная берётся почленно: $$\left(x^3-48x+17\right)'=3x^2-48.$$

2. Необходимое условие экстремума. Если в точке $x_0$ функция имеет локальный максимум или минимум и дифференцируема в этой точке, то $y'(x_0)=0$. Такие точки называются критическими (или стационарными).

3. Достаточное условие экстремума (по смене знака производной). Если при переходе через точку $x_0$ производная меняет знак с «+» на «−», то $x_0$ — точка максимума. Если с «−» на «+» — точка минимума. Если знак не меняется, экстремума нет.

4. Наибольшее и наименьшее значение на отрезке. Если функция непрерывна на отрезке $[a;b]$, то своё наибольшее и наименьшее значения она принимает либо в критических точках, лежащих внутри отрезка, либо на его концах. Значит, алгоритм: найти критические точки внутри $[a;b]$, вычислить значения функции в них и на концах отрезка, сравнить.

5. Особенности иррациональных и степенных функций с дробным показателем. Если в функции присутствует корень (например, $y=\sqrt{x}$ или $y=x^{2/3}$), нужно дополнительно учитывать область определения: под корнем чётной степени выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, в точках, где производная не существует (например, в нуле для $y=\sqrt[3]{x^2}$), функция также может иметь экстремум — это тоже критические точки, только не из уравнения $y'=0$, а из условия «производная не существует».

6. Поведение на бесконечности. Если задача не ограничена отрезком, а спрашивает про экстремум на всей области определения, нужно понимать поведение функции при $x\to\pm\infty$: для нечётной степени старшего члена (например, $x^3$) функция уходит в $-\infty$ при $x\to-\infty$ и в $+\infty$ при $x\to+\infty$, поэтому глобального максимума или минимума на всей числовой прямой у такой функции нет — есть только локальные экстремумы.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Определить область определения функции. Для многочленов это вся числовая прямая. Для функций с корнями чётной степени или в знаменателе — нужно найти ОДЗ.

Шаг 2. Найти производную $y'(x)$. Пользуемся правилами дифференцирования степенной функции и суммы.

Шаг 3. Найти критические точки. Решить уравнение $y'(x)=0$, а также отметить точки, где производная не определена (актуально для корней и дробных степеней).

Шаг 4. В зависимости от постановки задачи:

• Если ищется точка экстремума (максимума или минимума) на всей области определения — определить знак производной слева и справа от каждой критической точки (методом интервалов) и сделать вывод о характере экстремума.

• Если ищется наибольшее/наименьшее значение на отрезке $[a;b]$ — отобрать критические точки, попадающие внутрь отрезка, вычислить значение функции в этих точках и на обоих концах отрезка $a$ и $b$, затем сравнить полученные числа.

Шаг 5. Записать ответ — это либо координата $x$ точки экстремума, либо число (значение функции), в зависимости от формулировки вопроса. Важно внимательно читать условие: «найдите точку максимума» — ответ это $x$; «найдите наименьшее значение функции» — ответ это $y$.

Разбор примера

Пример 1. Найдите точку максимума функции $$y=x^3-48x+17.$$

Шаг 1. Область определения — вся числовая прямая, $D(y)=\mathbb{R}$, так как это многочлен.

Шаг 2. Находим производную: $$y'=3x^2-48.$$

Шаг 3. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: $$3x^2-48=0 \quad\Rightarrow\quad x^2=16 \quad\Rightarrow\quad x=\pm4.$$

Получили две критические точки: $x=-4$ и $x=4$.

Шаг 4. Определяем характер каждой точки методом интервалов. Производная $y'=3x^2-48=3(x-4)(x+4)$ — это парабола с ветвями вверх, значит она отрицательна между корнями и положительна вне их:

• при $x<-4$: $y'>0$ (возрастание);
• при $-4<x<4$: $y'<0$ (убывание);
• при $x>4$: $y'>0$ (возрастание).

В точке $x=-4$ производная меняет знак с «+» на «−» — это точка максимума. В точке $x=4$ производная меняет знак с «−» на «+» — это точка минимума.

Шаг 5. Так как спрашивается точка максимума, ответ: $$x=-4.$$

Это полностью совпадает с данным ответом.

Пример 2. Найдите наименьшее значение функции $$y=x^3-27x$$ на отрезке $[0;4]$.

Шаг 1. Функция определена на всей числовой прямой, отрезок $[0;4]$ целиком входит в область определения.

Шаг 2. Находим производную: $$y'=3x^2-27.$$

Шаг 3. Решаем уравнение $y'=0$: $$3x^2-27=0 \quad\Rightarrow\quad x^2=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm3.$$

Из двух критических точек в отрезок $[0;4]$ попадает только $x=3$ (точка $x=-3$ не входит в отрезок и не рассматривается).

Шаг 4. Так как ищем наименьшее значение на отрезке, вычисляем значение функции в критической точке $x=3$ и на обоих концах отрезка $x=0$, $x=4$:

$$y(0)=0^3-27\cdot0=0;$$ $$y(3)=3^3-27\cdot3=27-81=-54;$$ $$y(4)=4^3-27\cdot4=64-108=-44.$$

Шаг 5. Сравниваем три числа: $0$, $-54$, $-44$. Наименьшее из них $-54$.

Ответ: $-54$, что совпадает с данным условием.

Обратите внимание: в этом примере не нужно было исследовать характер критической точки (максимум это или минимум) — достаточно было просто вычислить значения функции во всех «подозрительных» точках (концы отрезка и критические точки внутри него) и сравнить их между собой. Это ключевое отличие задачи «найти значение на отрезке» от задачи «найти точку экстремума на всей прямой».

Типичные ошибки

1. Путаница между «точкой экстремума» и «значением функции». Если в вопросе спрашивают «точку максимума», отвечать нужно координатой $x$, а не значением $y$ в этой точке. Обратная ошибка также часто встречается.

2. Потеря критических точек вне отрезка. При решении уравнения $y'=0$ иногда получают несколько корней, но забывают проверить, какие из них действительно принадлежат заданному отрезку. Точки вне отрезка не участвуют в сравнении.

3. Забыли учесть концы отрезка. При поиске наибольшего/наименьшего значения на отрезке многие ученики находят только критические точки и сравнивают значения в них, забывая, что экстремум может достигаться и на границе отрезка.

4. Ошибки в определении знака производной. При использовании метода интервалов важно правильно определить знак множителей в каждом промежутке, иначе характер экстремума (максимум или минимум) определяется неверно.

5. Неучёт области определения для иррациональных функций. Если в функции есть корень чётной степени, забывают проверить ОДЗ и включают в рассмотрение точки, которые не входят в область определения функции.

6. Арифметические ошибки при вычислении значений функции. Особенно часто ошибаются при возведении в куб отрицательных чисел или при подстановке дробных значений — стоит проверять вычисления повторно.

7. Забывают проверить точки, где производная не существует. Для функций с дробными или отрицательными степенями (например, $y=x^{2/3}$) критическими являются не только точки $y'=0$, но и точки, где производная не определена — их тоже нужно включать в анализ.

На что обратить внимание на экзамене

Перед решением внимательно прочитайте формулировку: спрашивается точка экстремума (ответ — значение $x$) или значение функции (ответ — значение $y$). Всегда проверяйте, задан ли отрезок — если да, не забывайте про его концы при сравнении значений функции. При нахождении производной аккуратно применяйте правила дифференцирования степенной функции, особенно если есть отрицательные или дробные показатели. Полезно сразу разложить производную на множители (как в примерах выше это удалось сделать через разность квадратов), чтобы быстрее определить знаки на интервалах. После нахождения ответа имеет смысл сделать быструю проверку — подставить найденное значение $x$ обратно в исходную функцию и оценить правдоподобность результата, особенно при поиске наименьшего или наибольшего значения на отрезке.