Задача 77439. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Находим производную.

Дана функция $y = 9x^2 - x^3$.

Применяем правило дифференцирования степенной функции: производная $x^n$ равна $nx^{n-1}$.

$$y' = 9 \cdot 2x - 3x^2 = 18x - 3x^2$$

Вынесем общий множитель: $$y' = 3x(6 - x)$$

Шаг 2. Найдём критические точки.

Производная равна нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$3x(6 - x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 6$$

Шаг 3. Определяем знаки производной на интервалах.

Разбиваем числовую ось на три части: $(-\infty; 0)$, $(0; 6)$, $(6; +\infty)$.

• При $x < 0$: множитель $3x < 0$ и $(6-x) > 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает.
• При $0 < x < 6$: множитель $3x > 0$ и $(6-x) > 0$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает.
• При $x > 6$: множитель $3x > 0$ и $(6-x) < 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает.

Шаг 4. Определяем максимум.

В точке $x = 6$ производная меняет знак с положительного на отрицательный (с плюса на минус). Это означает, что функция перестаёт возрастать и начинает убывать — здесь точка максимума.