Задача 77419. Исследование степенных и иррациональных функций

Для нахождения точек максимума исследуем функцию с помощью производной.

Шаг 1. Найдём производную

$$y' = 3x^2 - 48$$

Производная кубической функции берётся по правилу степеней: производная $x^3$ равна $3x^2$, а константа 17 обращается в нуль.

Шаг 2. Разложим производную на множители

$$y' = 3(x^2 - 16) = 3(x - 4)(x + 4)$$

Это помогает увидеть критические точки — значения, где производная обнуляется.

Шаг 3. Найдём критические точки

$$3(x - 4)(x + 4) = 0$$

Получаем: $x = -4$ и $x = 4$

Шаг 4. Определим знаки производной на интервалах

• При $x < -4$: берём, например, $x = -5$. Тогда $y' = 3(-9)(-1) = 27 > 0$ — функция возрастает
• При $-4 < x < 4$: берём $x = 0$. Тогда $y' = 3(-4)(4) = -48 < 0$ — функция убывает
• При $x > 4$: берём $x = 5$. Тогда $y' = 3(1)(9) = 27 > 0$ — функция возрастает

Шаг 5. Определим точку максимума

В точке $x = -4$ производная меняет знак с положительного на отрицательный: функция переходит от возрастания к убыванию. Это признак максимума.

В точке $x = 4$ знак меняется с минуса на плюс — это минимум.