Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

Найдём производную функции $y = x^3 - 3x + 4$: $$y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x+1)(x-1)$$

Производная обращается в ноль при $x = -1$ и $x = 1$. На отрезке $[-2; 0]$ только $x = -1$ является критической точкой.

Определим знаки производной:

• При $x \in [-2; -1)$: берём $x = -1{,}5$, тогда $(x+1) < 0$ и $(x-1) < 0$, значит $y' > 0$ — функция возрастает
• При $x \in (-1; 0]$: берём $x = -0{,}5$, тогда $(x+1) > 0$ и $(x-1) < 0$, значит $y' < 0$ — функция убывает

Следовательно, в точке $x = -1$ функция имеет локальный максимум.

Найдём значения функции в критической точке и на концах отрезка: $$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6$$ $$y(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 4 = -8 + 6 + 4 = 2$$ $$y(0) = 0 - 0 + 4 = 4$$

Сравнивая значения: $y(-1) = 6 > y(0) = 4 > y(-2) = 2$.

Наибольшее значение функции на отрезке равно 6.