Задача 77424. Исследование степенных и иррациональных функций

Чтобы найти точку минимума, нужно исследовать функцию с помощью производной.

Шаг 1. Найдём производную.

Для функции $y = x^3 - 3x^2 + 2$ применяем правило дифференцирования степени:

$$y' = 3x^2 - 6x$$

Шаг 2. Найдём критические точки.

Производная обращается в ноль, когда:

$$3x^2 - 6x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$3x(x - 2) = 0$$

Отсюда $x = 0$ или $x = 2$.

Шаг 3. Определим знаки производной на каждом промежутке.

Проверим знак $y'$ слева и справа от критических точек:

• При $x < 0$ (например, $x = -1$): $y' = 3(-1)(-1-2) = 3 \cdot (-1) \cdot (-3) = 9 > 0$ — функция возрастает.
• При $0 < x < 2$ (например, $x = 1$): $y' = 3(1)(1-2) = 3 \cdot 1 \cdot (-1) = -3 < 0$ — функция убывает.
• При $x > 2$ (например, $x = 3$): $y' = 3(3)(3-2) = 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9 > 0$ — функция возрастает.

Шаг 4. Определим тип экстремума.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус — это максимум.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с минуса на плюс — это минимум.

Ответ: точка минимума $x = 2$.