Задача 639109. Исследование степенных и иррациональных функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.5 Точки экстремума функции3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции

Найдите точку минимума функции $y=x в кубе минус 12 x в квадрате плюс 11.$

В подтеме 62 задач

Разбор

Главная идея: Точка минимума находится в критической точке, где производная равна нулю и меняет знак с отрицательного на положительный.

Чтобы найти точку минимума, нужно исследовать поведение функции с помощью производной.

Шаг 1. Найдём производную.

$y' = 3x^2 - 24x$

Производная от $x^3$ даёт $3x^2$ , от $12x^2$ даёт $24x$ , константа 11 исчезает.

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $3x^2 - 24x = 0$ $3x(x - 8) = 0$

Отсюда $x = 0$ или $x = 8$ .

Шаг 3. Определим знаки производной на каждом промежутке.

Производная имеет вид $y' = 3x(x-8)$ . Анализируем знаки:

При $x < 0$ : оба множителя отрицательны, произведение положительно → $y' > 0$ (функция растёт)
При $0 < x < 8$ : первый множитель положителен, второй отрицателен → $y' < 0$ (функция убывает)
При $x > 8$ : оба множителя положительны → $y' > 0$ (функция растёт)

Шаг 4. Определим тип критических точек.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус — это максимум.

В точке $x = 8$ производная меняет знак с минуса на плюс — это минимум.

Ответ: $x = 8$

Перепутать точки минимума и максимума — нужно проверять смену знака производной слева и справа от точки
Забыть, что критических точек может быть несколько — проверять каждую
Ошибиться при факторизации производной или решении уравнения

Ещё задачи этой подтемы