Задача 77423. Исследование степенных и иррациональных функций

Чтобы найти точку максимума, нужно исследовать поведение функции с помощью производной.

Шаг 1. Найдём производную: $$y' = 3x^2 - 6x$$

Это стандартная формула дифференцирования степеней: производная $x^n$ равна $nx^{n-1}$, а производная константы равна нулю.

Шаг 2. Вынесем общий множитель: $$y' = 3x(x - 2)$$

Шаг 3. Найдём критические точки — значения $x$, где производная равна нулю: $$3x(x - 2) = 0$$ $$x = 0 \text{ или } x = 2$$

Шаг 4. Определим знаки производной на каждом промежутке:

• При $x < 0$ (например, $x = -1$): $y' = 3(-1)(-3) = 9 > 0$ — функция растёт
• При $0 < x < 2$ (например, $x = 1$): $y' = 3(1)(-1) = -3 < 0$ — функция убывает
• При $x > 2$ (например, $x = 3$): $y' = 3(3)(1) = 9 > 0$ — функция растёт

Шаг 5. Интерпретируем результат. В точке $x = 0$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит функция переходит от возрастания к убыванию — это точка максимума.

В точке $x = 2$ происходит переход от убывания к возрастанию — это точка минимума.