Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно исследовать её с помощью производной.

Шаг 1: Найдём производную.

$$y' = 3x^2 - 12x$$

Вынесем общий множитель: $$y' = 3x(x - 4)$$

Шаг 2: Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$3x(x - 4) = 0$$

Получаем $x = 0$ или $x = 4$.

Отрезок — $[-3; 3]$, поэтому точка $x = 4$ лежит вне этого промежутка. Внутри отрезка только одна критическая точка: $x = 0$.

Шаг 3: Определим характер критической точки.

Проверим знаки производной:

• при $x < 0$: произведение $3x(x-4)$ имеет вид (отрицательное) × (отрицательное) = положительное, то есть $y' > 0$ — функция растёт;
• при $0 < x < 4$: произведение (положительное) × (отрицательное) = отрицательное, то есть $y' < 0$ — функция убывает.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, значит здесь максимум.

Шаг 4: Вычислим значения на концах отрезка и в критической точке.

• $y(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 = 0$
• $y(-3) = (-3)^3 - 6(-3)^2 = -27 - 54 = -81$
• $y(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 = 27 - 54 = -27$

Наибольшее из этих значений — $0$.