Задача 77442. Исследование степенных и иррациональных функций

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно исследовать её поведение с помощью производной.

Шаг 1. Найдём производную.

$$y = 9x^2 - x^3$$ $$y' = 18x - 3x^2 = 3x(6 - x)$$

Это получается по правилам дифференцирования степенной функции: производная $x^2$ равна $2x$, производная $x^3$ равна $3x^2$.

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$3x(6 - x) = 0$$

Отсюда $x = 0$ или $x = 6$.

На отрезке $[2; 10]$ лежит только точка $x = 6$ (ноль находится вне отрезка).

Шаг 3. Определим характер экстремума.

Проверим знаки производной по сторонам от $x = 6$:

• При $x = 5$ (левее 6): $y' = 3 \cdot 5 \cdot 1 = 15 > 0$ — функция возрастает
• При $x = 7$ (правее 6): $y' = 3 \cdot 7 \cdot (-1) = -21 < 0$ — функция убывает

Следовательно, $x = 6$ — точка локального максимума.

Шаг 4. Найдём значения на концах отрезка и в критической точке.

$$y(6) = 9 \cdot 36 - 216 = 324 - 216 = 108$$ $$y(2) = 9 \cdot 4 - 8 = 36 - 8 = 28$$ $$y(10) = 9 \cdot 100 - 1000 = 900 - 1000 = -100$$

Наибольшее значение — это 108.