Задача 77421. Исследование степенных и иррациональных функций

1. Найдём производную функции $y = x^3 - 27x$: $$y' = 3x^2 - 27 = 3(x^2 - 9) = 3(x-3)(x+3)$$

2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки: $$3(x-3)(x+3) = 0$$ Получаем $x = 3$ или $x = -3$.

3. На отрезке $[0; 4]$ из критических точек находится только $x = 3$ (точка $x = -3$ лежит вне отрезка).

4. Определим знаки производной на интервалах:

   • При $x \in (0; 3)$: берём точку $x = 1$, тогда $y'(1) = 3(1-3)(1+3) = 3 \cdot (-2) \cdot 4 < 0$ — функция убывает.
   • При $x \in (3; 4)$: берём точку $x = 3{,}5$, тогда $y'(3{,}5) > 0$ — функция возрастает.

Вточке $x = 3$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка локального минимума.

5. Проверим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   • $y(0) = 0$
   • $y(3) = 27 - 27 \cdot 3 = 27 - 81 = -54$
   • $y(4) = 64 - 108 = -44$

Наименьшее значение: $-54$ при $x = 3$.