Задача 77425. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции

$y = x^3 - 3x^2 + 2$

$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

Производная — это инструмент, с помощью которого мы находим точки, где функция меняет своё поведение (растёт или убывает).

Шаг 2. Найдём критические точки

Производная равна нулю при: $3x(x - 2) = 0$

Отсюда $x = 0$ или $x = 2$

Из этих двух точек на отрезке $[1; 4]$ лежит только $x = 2$.

Шаг 3. Определим знаки производной на отрезке

• При $x \in [1; 2)$: берём $x = 1$, тогда $y' = 3 \cdot 1 \cdot (-1) = -3 < 0$ — функция убывает
• При $x \in (2; 4]$: берём $x = 3$, тогда $y' = 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9 > 0$ — функция возрастает

Это означает, что в точке $x = 2$ находится локальный минимум.

Шаг 4. Найдём значения на концах отрезка и в критической точке

$y(1) = 1 - 3 + 2 = 0$

$y(2) = 8 - 12 + 2 = -2$

$y(4) = 64 - 48 + 2 = 18$

Сравнивая все три значения, наименьшее — это $-2$.