Задание 12 ЕГЭ: наибольшее и наименьшее значение функции

Что проверяет задание

Задание 12 профильного ЕГЭ проверяет умение находить наибольшее, наименьшее значения функции, а также точки максимума и минимума. Проверяются два разных навыка: классическое исследование функции с помощью производной и умение анализировать функцию "по смыслу" — через свойства элементарных функций (монотонность, ограниченность, чётность), без вычисления производной. Второй способ часто быстрее и надёжнее, если функция имеет специальный вид (корень из квадратного трёхчлена, дробь, произведение простых множителей, тригонометрическая или показательно-логарифмическая конструкция).

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичные формулировки:

• «Найдите точку максимума (минимума) функции $y=f(x)$»;
• «Найдите наибольшее (наименьшее) значение функции $y=f(x)$»;
• «Найдите наибольшее значение функции на отрезке $[a;b]$».

Задание относится к части с кратким ответом, оценивается 1 баллом. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Ошибка в знаке или в выборе точки (максимум вместо минимума) засчитывается как неверный ответ полностью, промежуточных баллов нет.

Что нужно знать

• Точка максимума $x_0$ — точка, в которой $f(x_0)\ge f(x)$ для всех $x$ из некоторой окрестности; точка минимума — аналогично с $\le$.
• Наибольшее (наименьшее) значение функции — это значение $f(x_0)$ в соответствующей точке, а не сама точка $x_0$ — важно не путать, что спрашивается в вопросе.
• Квадратичная функция $y=ax^2+bx+c$ при $a>0$ имеет минимум, при $a<0$ — максимум в вершине параболы: $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
• Функция $y=\sqrt{g(x)}$ монотонно связана с $g(x)$: где $g(x)$ имеет максимум/минимум, там и $y$ имеет максимум/минимум (при условии $g(x)\ge 0$).
• Функция $y=\dfrac{1}{g(x)}$ (при $g(x)>0$) достигает наибольшего значения там, где $g(x)$ минимально, и наоборот.
• Показательная функция $y=a^{g(x)}$ при $a>1$ монотонно возрастает с ростом $g(x)$; при $0<a<1$ — убывает.
• Логарифмическая функция $y=\log_a g(x)$ при $a>1$ возрастает вместе с $g(x)$; при $0<a<1$ — убывает.
• Тригонометрические функции $\sin x$ и $\cos x$ ограничены: $-1\le \sin x\le 1$, $-1\le \cos x\le 1$; экстремумы достигаются при известных значениях аргумента.
• Выделение полного квадрата: $ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+c-\dfrac{b^2}{4a}$ — базовый приём для быстрого поиска вершины параболы.
• Производная произведения: $(uv)'=u'v+uv'$; производная частного: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.

Методы решения

1. Метод сведения к вершине параболы (без производной). Если функция имеет вид $y=\sqrt{g(x)}$, $y=g(x)^2$ или $y=\dfrac{1}{g(x)}$, где $g(x)$ — квадратный трёхчлен, выделяем полный квадрат и находим вершину. Пример: для $y=\sqrt{x^2-4x+5}=\sqrt{(x-2)^2+1}$ минимум подкоренного выражения при $x=2$, значит и минимум $y$ там же, равен $\sqrt{1}=1$.

2. Метод оценки (ограниченность функции). Используется для тригонометрических и модульных выражений. Зная, что $-1\le\sin x\le1$, оцениваем крайние значения составной функции. Пример: $y=3-2\sin x$ имеет наибольшее значение $3-2\cdot(-1)=5$ и наименьшее $3-2\cdot1=1$.

3. Метод производной для произведений и частных. Находим $f'(x)$, приравниваем к нулю, определяем знак производной слева и справа от корня. Пример: $y=x^2 e^{-x}$, $y'=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=e^{-x}x(2-x)$; критические точки $x=0$ и $x=2$, при переходе через $x=2$ производная меняет знак с «+» на «−» — точка максимума.

4. Метод монотонности сложной функции (показательные и логарифмические). Если внешняя функция монотонна, экстремум внешней функции соответствует экстремуму внутренней. Пример: $y=2^{x^2-4x}$ — показатель $x^2-4x=(x-2)^2-4$ минимален при $x=2$, значит и $y$ минимально там же, равно $2^{-4}$.

5. Метод анализа знака производной для иррациональных функций. Если под корнем стоит сложное выражение, ищем производную с учётом области определения. Пример: $y=\sqrt{9-x^2}$ на области $[-3;3]$, производная $y'=\dfrac{-x}{\sqrt{9-x^2}}$ равна нулю при $x=0$ — это точка максимума, $y(0)=3$.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить область определения функции (особенно важно для корней, логарифмов, дробей).
2. Посмотреть на структуру функции: квадратный трёхчлен под корнем/дробью, произведение, тригонометрическая или показательно-логарифмическая конструкция.
3. Если структура позволяет — применить метод без производной (выделение квадрата, оценка ограниченности, монотонность внешней функции).
4. Если структура сложная (явное произведение или частное разных типов функций) — найти производную, решить уравнение $f'(x)=0$.
5. Определить знаки производной слева и справа от каждой критической точки, сделать вывод о типе экстремума (максимум/минимум).
6. Внимательно прочитать вопрос: спрашивается точка экстремума ($x_0$) или значение функции ($f(x_0)$) — записать именно то, что требуется.
7. Проверить полученный ответ подстановкой в исходную функцию, если это не отнимает много времени.

Разбор примеров

Пример 1. Найдите точку максимума функции $y=\sqrt{4-4x-x^2}$.

Шаг 1. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, но для поиска экстремума достаточно исследовать сам трёхчлен $g(x)=-x^2-4x+4$.

Шаг 2. Выделим полный квадрат: $$g(x)=-x^2-4x+4=-(x^2+4x)+4=-\left((x+2)^2-4\right)+4=-(x+2)^2+8.$$

Шаг 3. Так как коэффициент при $(x+2)^2$ отрицателен, $g(x)$ достигает наибольшего значения при $x=-2$, и это наибольшее значение равно $8$.

Шаг 4. Функция $y=\sqrt{g(x)}$ монотонно связана с $g(x)$ (корень — возрастающая функция), поэтому максимум $y$ достигается в той же точке, где максимум $g(x)$, то есть при $x=-2$.

Ответ: $x=-2$.

Пример 2. Найдите точку минимума функции $y=\sqrt{x^2-6x+11}$.

Шаг 1. Рассмотрим подкоренное выражение $g(x)=x^2-6x+11$.

Шаг 2. Выделим полный квадрат: $$g(x)=x^2-6x+11=(x-3)^2-9+11=(x-3)^2+2.$$

Шаг 3. Так как коэффициент при $(x-3)^2$ положителен, наименьшее значение $g(x)$ достигается при $x=3$ и равно $2$.

Шаг 4. Функция корня монотонно возрастает, значит минимум $y$ достигается в той же точке $x=3$.

Ответ: $x=3$.

Пример 3. Найдите наименьшее значение функции $y=\sqrt{x^2-6x+13}$.

Шаг 1. Обратите внимание: здесь спрашивают не точку, а само значение функции.

Шаг 2. Выделим полный квадрат подкоренного выражения: $$x^2-6x+13=(x-3)^2-9+13=(x-3)^2+4.$$

Шаг 3. Минимальное значение выражения под корнем равно $4$ и достигается при $x=3$.

Шаг 4. Тогда наименьшее значение функции: $$y_{\min}=\sqrt{4}=2.$$

Ответ: $2$.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают точку экстремума ($x_0$) и значение функции в этой точке ($f(x_0)$) — внимательно читайте вопрос задания.
• При выделении полного квадрата теряют знак: забывают, что при отрицательном старшем коэффициенте вершина даёт максимум, а не минимум.
• Не учитывают область определения функции (например, для корня подкоренное выражение обязано быть неотрицательным, для логарифма — строго положительным), из-за чего находят «лишние» критические точки, не входящие в допустимый диапазон.
• Для функций вида $\dfrac{1}{g(x)}$ путают направление: забывают, что минимум $g(x)$ даёт максимум дроби, а не наоборот.
• При дифференцировании произведения или частного забывают формулу производной сложной функции, теряют множитель (например, у показательной функции $e^{g(x)}$).
• Не проверяют знак производной по обе стороны от критической точки и делают неверный вывод о типе экстремума.
• Для тригонометрических функций забывают об ограниченности $\sin x$ и $\cos x$ и пытаются искать производную там, где достаточно оценки.

Как готовиться

Начните с повторения свойств элементарных функций: квадратичной, степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических — важно уметь быстро определять их монотонность и границы значений без вычислений. Отдельно потренируйтесь на выделении полного квадрата — это базовый навык, который экономит время на экзамене. Затем разберите блок задач на производную произведений и частных, чтобы уверенно находить критические точки и определять их тип по знаку производной. Решайте задания вперемешку: часть — с применением производной, часть — методом оценки и монотонности, чтобы научиться быстро определять, какой способ короче для конкретной функции. Обязательно фиксируйте, что именно спрашивается в вопросе (точка или значение), и составьте себе короткий чек-лист проверки перед записью ответа. Регулярная практика на разнообразных примерах из открытого банка заданий закрепит алгоритм и снизит вероятность технических ошибок.