Задание 12 ЕГЭ: исследование произведений — наибольшее и наименьшее значение

О чём эта подтема

В задании 12 профильного ЕГЭ часто встречаются функции, заданные как произведение двух множителей — например, линейного выражения и экспоненты: $y=(x-a)e^{x-b}$. Такие функции называют «произведениями», и работа с ними имеет свою специфику: нужно правильно продифференцировать произведение, а затем воспользоваться тем, что экспонента никогда не равна нулю и всегда положительна. Это сильно упрощает анализ знака производной.

Задача обычно звучит одним из трёх способов: найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке, найти точку минимума (максимума), либо найти само экстремальное значение функции без ограничения на отрезок. Важно чётко различать эти формулировки, потому что ответы у них разные по смыслу — точка (значение аргумента $x$) и значение функции (значение $y$) почти никогда не совпадают.

Что нужно знать

Для решения таких задач достаточно небольшого набора фактов.

Правило дифференцирования произведения: $$(uv)'=u'v+uv'.$$ Если $y=f(x)\cdot g(x)$, то $y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.

Производная экспоненты со сложным показателем: $$\left(e^{g(x)}\right)'=g'(x)\cdot e^{g(x)}.$$ В частности, $\left(e^{x-b}\right)'=e^{x-b}$, так как производная показателя $x-b$ равна 1.

Ключевое свойство экспоненты: для любого действительного $x$ $$e^{x}>0.$$ Это значит, что экспоненциальный множитель никогда не обращается в ноль и никогда не меняет знак. Поэтому при поиске критических точек уравнение $e^{g(x)}=0$ решать не нужно — оно не имеет решений. Знак всей производной определяется только знаком оставшегося (не экспоненциального) множителя.

Необходимое условие экстремума: если $x_0$ — точка экстремума дифференцируемой функции, то $y'(x_0)=0$.

Достаточное условие экстремума через смену знака производной: если при переходе через точку $x_0$ производная меняет знак с минуса на плюс, то $x_0$ — точка минимума; если с плюса на минус — точка максимума.

Алгоритм нахождения наибольшего/наименьшего значения на отрезке $[a;b]$: нужно сравнить значения функции в критических точках, лежащих внутри отрезка, со значениями на его концах $f(a)$ и $f(b)$. Наибольшее из полученных чисел — это наибольшее значение функции на отрезке, наименьшее — соответственно наименьшее.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Определить область определения функции. Для произведений многочлена на экспоненту область определения обычно вся числовая прямая, поэтому этот шаг чаще всего тривиален, но проверить стоит всегда.

Шаг 2. Найти производную по правилу произведения. Если $y=(x-a)e^{x-b}$, то $$y'=1\cdot e^{x-b}+(x-a)\cdot e^{x-b}=e^{x-b}\left(1+x-a\right).$$

Шаг 3. Вынести общий множитель $e^{x-b}$ за скобки и учесть, что он всегда положителен. Тогда знак производной полностью определяется знаком второго множителя — линейного выражения.

Шаг 4. Приравнять оставшийся множитель к нулю и найти критическую точку (или точки). Для линейного выражения это делается элементарно.

Шаг 5. Определить знаки производной слева и справа от критической точки (или составить таблицу знаков). Так устанавливается характер точки — минимум или максимум, а также промежутки возрастания и убывания функции.

Шаг 6. В зависимости от формулировки задания:

• если нужно найти точку экстремума — записываем в ответ значение $x_0$;
• если нужно найти значение функции в этой точке (наибольшее или наименьшее на отрезке) — подставляем $x_0$ в исходную функцию и вычисляем $y(x_0)$;
• если задан отрезок — дополнительно вычисляем значения на его концах и сравниваем все полученные числа.

Шаг 7. Если критическая точка не попадает в заданный отрезок, наибольшее и наименьшее значения ищутся только среди значений на концах отрезка, поскольку внутри него функция монотонна.

Разбор примера

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции $y=(x-8)e^{x-7}$ на отрезке $[6;8]$.

Шаг 1. Область определения — все действительные числа, отрезок $[6;8]$ полностью в неё входит.

Шаг 2. Находим производную по правилу произведения, считая $u=x-8$, $v=e^{x-7}$: $$y'=u'v+uv'=1\cdot e^{x-7}+(x-8)\cdot e^{x-7}.$$

Шаг 3. Выносим общий множитель $e^{x-7}$: $$y'=e^{x-7}\left(1+(x-8)\right)=e^{x-7}(x-7).$$

Шаг 4. Так как $e^{x-7}>0$ при любом $x$, знак $y'$ совпадает со знаком $(x-7)$. Приравниваем этот множитель к нулю: $$x-7=0 \;\Rightarrow\; x=7.$$ Эта точка входит в отрезок $[6;8]$.

Шаг 5. Составляем таблицу знаков:

• при $x<7$: $x-7<0$, значит $y'<0$ — функция убывает;
• при $x>7$: $x-7>0$, значит $y'>0$ — функция возрастает.

Значит, $x=7$ — точка минимума. Поскольку слева от неё функция убывает, а справа возрастает, минимальное значение на всём отрезке $[6;8]$ достигается именно в этой точке.

Шаг 6. Вычисляем значение функции в точке минимума: $$y(7)=(7-8)\cdot e^{7-7}=(-1)\cdot e^{0}=(-1)\cdot 1=-1.$$

Для контроля посчитаем значения на концах отрезка: $$y(6)=(6-8)e^{6-7}=-2e^{-1}\approx -0{,}74,$$ $$y(8)=(8-8)e^{8-7}=0\cdot e^{1}=0.$$ Оба числа больше $-1$, что подтверждает: наименьшее значение на отрезке равно $-1$ и достигается в точке $x=7$.

Ответ: $-1$.

Пример 2. Найдите точку минимума функции $y=(x+16)e^{x-16}$.

Шаг 1. Область определения — вся числовая прямая, отрезок не задан, значит ищем экстремум функции целиком.

Шаг 2. Находим производную, считая $u=x+16$, $v=e^{x-16}$: $$y'=1\cdot e^{x-16}+(x+16)\cdot e^{x-16}.$$

Шаг 3. Выносим общий множитель: $$y'=e^{x-16}\left(1+x+16\right)=e^{x-16}(x+17).$$

Шаг 4. Так как $e^{x-16}>0$ всегда, знак производной определяется знаком $(x+17)$. Приравниваем к нулю: $$x+17=0 \;\Rightarrow\; x=-17.$$

Шаг 5. Определяем знаки:

• при $x<-17$: $x+17<0$, значит $y'<0$ — функция убывает;
• при $x>-17$: $x+17>0$, значит $y'>0$ — функция возрастает.

Производная меняет знак с минуса на плюс, значит $x=-17$ — точка минимума.

Шаг 6. В вопросе спрашивается именно точка минимума (значение аргумента), а не значение функции в этой точке. Поэтому вычислять $y(-17)$ не требуется — в ответ идёт само значение $x$.

Ответ: $-17$.

Обратите внимание на разницу формулировок между примером 1 и примером 2: в первом случае спрашивали значение функции (число $y$), во втором — координату точки (число $x$). Техника нахождения критической точки одинаковая, а вот итоговый ответ формируется по-разному.

Типичные ошибки

Путаница между точкой экстремума и значением функции. Самая частая ошибка — подставить найденный $x_0$ в функцию, когда спрашивали именно точку, или, наоборот, дать в ответ $x_0$, когда требовалось значение $y(x_0)$. Всегда перечитывайте формулировку перед записью ответа.

Забывают учесть знак экспоненциального множителя. Иногда пытаются решать уравнение $e^{g(x)}=0$ или ошибочно считают, что экспонента может быть отрицательной. Экспонента строго положительна при любом действительном показателе, и это нужно использовать, а не проверять отдельно.

Ошибки при дифференцировании произведения. Забывают правило $(uv)'=u'v+uv'$ и дифференцируют множители по отдельности, теряя один из слагаемых. Особенно часто теряют производную многочлена (то есть коэффициент 1 у линейного выражения).

Неполное упрощение производной. После применения правила произведения важно вынести общий экспоненциальный множитель и раскрыть скобки внутри оставшегося выражения — иначе легко ошибиться при определении знака.

Игнорирование границ отрезка. Если задача про наибольшее/наименьшее значение на отрезке, необходимо не только найти критическую точку, но и вычислить значения на концах отрезка — особенно если критических точек несколько или неочевидно, попадает ли найденная точка в отрезок.

Проверка, входит ли критическая точка в отрезок. Если экстремум находится за пределами заданного отрезка, то на самом отрезке функция монотонна, и наибольшее/наименьшее значения достигаются только на его концах.

Арифметические ошибки при подстановке. Особенно часто ошибаются в вычислении $e^{0}=1$ и в знаках при раскрытии скобок вида $(x-8)$ при $x=7$.

На что обратить внимание на экзамене

Перед решением внимательно прочитайте, что именно спрашивается: наибольшее значение, наименьшее значение, точка максимума или точка минимума. Это определяет форму ответа — число $y$ или число $x$.

При вычислении производной сразу выносите экспоненциальный множитель за скобки — это резко упрощает дальнейший анализ и снижает вероятность ошибки в знаках.

Если в задаче есть отрезок, всегда проверяйте, попадает ли критическая точка в этот отрезок, и сравнивайте значение функции в критической точке со значениями на концах отрезка, даже если кажется очевидным, где находится минимум или максимум.

Строго фиксируйте знаки при составлении таблицы знаков производной — ошибка в одном знаке меняет вывод о том, минимум это или максимум.

На черновике проверяйте вычисление значения функции подстановкой, особенно в точках, где показатель степени обращается в ноль — легко забыть, что $e^{0}=1$, а не $0$.

Если остаётся время, перепроверьте финальный ответ на соответствие исходной формулировке задания: число должно быть именно тем, что спрашивали — координата экстремума или значение функции.