Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Шаг 1. Найдём производную.

Для функции $y = (x-2)^2 e^x$ применим правило произведения: $$y' = [(x-2)^2]' \cdot e^x + (x-2)^2 \cdot (e^x)'$$

Вычислим каждую часть:

• $[(x-2)^2]' = 2(x-2)$
• $(e^x)' = e^x$

Получаем: $$y' = 2(x-2)e^x + (x-2)^2 e^x$$

Шаг 2. Упростим производную.

Вынесем общий множитель $(x-2)e^x$: $$y' = (x-2)e^x[2 + (x-2)] = (x-2)e^x \cdot x = x(x-2)e^x$$

Шаг 3. Найдём критические точки.

Производная равна нулю при $x(x-2)e^x = 0$.

Поскольку $e^x > 0$ для всех $x$, остаётся: $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2$$

На отрезке $[-5; 1]$ только $x = 0$ входит в область определения.

Шаг 4. Определим характер критической точки.

Анализируем знаки $y' = x(x-2)e^x$ на $[-5; 1]$:

• При $x \in [-5; 0)$: $x < 0$ и $x - 2 < 0$, значит $y' > 0$ (функция возрастает)
• При $x \in (0; 1]$: $x > 0$ и $x - 2 < 0$, значит $y' < 0$ (функция убывает)

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус — это максимум.

Шаг 5. Вычислим значение в максимуме.

$$y(0) = (0-2)^2 \cdot e^0 = 4 \cdot 1 = 4$$

Проверим концы отрезка для полноты:

• $y(-5) = (-7)^2 e^{-5} = 49e^{-5} \approx 0,33$ (очень мало)
• $y(1) = (-1)^2 e^1 = e \approx 2,72$

Максимум достигается при $x = 0$.