Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Шаг 1. Найдём производную, используя правило произведения.

Для функции $y = (x+6)^2 e^{-4-x}$ применяем формулу $(uv)' = u'v + uv'$:

$$y' = 2(x+6) \cdot e^{-4-x} + (x+6)^2 \cdot (-1) \cdot e^{-4-x}$$

Вынесем общий множитель $e^{-4-x}$:

$$y' = e^{-4-x} \left[2(x+6) - (x+6)^2\right]$$

Шаг 2. Упростим выражение в скобках.

Раскроем скобки: $$2(x+6) - (x+6)^2 = 2x + 12 - (x^2 + 12x + 36) = -x^2 - 10x - 24$$

Это можно записать как $-(x^2 + 10x + 24) = -(x+4)(x+6)$.

Тогда: $y' = -e^{-4-x}(x+4)(x+6)$

Шаг 3. Найдём критические точки.

Производная равна нулю, когда $(x+4)(x+6) = 0$ (экспонента никогда не равна нулю).

Получаем: $x = -4$ или $x = -6$.

Обе точки лежат на отрезке $[-6; -1]$.

Шаг 4. Определим знак производной.

• При $x \in (-6; -4)$: оба множителя $(x+6) > 0$ и $(x+4) < 0$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает).
• При $x \in (-4; -1)$: оба множителя $(x+6) > 0$ и $(x+4) > 0$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает).

Значит, $x = -4$ — точка локального максимума.

Шаг 5. Вычислим значения на отрезке.

• $y(-6) = 0 \cdot e^{2} = 0$
• $y(-4) = (-4+6)^2 \cdot e^{-4-(-4)} = 4 \cdot e^0 = 4 \cdot 1 = 4$
• $y(-1) = (-1+6)^2 \cdot e^{-4-(-1)} = 25 \cdot e^{-3} \approx 25 \cdot 0{,}05 \approx 1{,}25$

Наибольшее значение — 4 при $x = -4$.