Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Чтобы найти наибольшее значение функции, нужно исследовать её поведение на отрезке. Начнём с производной.

Шаг 1. Найдём производную

Применим правило произведения: $y = (x-9)e^{10-x}$

$$y' = (x-9)' \cdot e^{10-x} + (x-9) \cdot (e^{10-x})'$$

Производная первого множителя: $(x-9)' = 1$

Производная второго множителя: $(e^{10-x})' = e^{10-x} \cdot (-1) = -e^{10-x}$

Подставляем: $$y' = e^{10-x} + (x-9) \cdot (-e^{10-x}) = e^{10-x} - (x-9)e^{10-x}$$

Вынесем общий множитель $e^{10-x}$: $$y' = e^{10-x}(1 - (x-9)) = e^{10-x}(1 - x + 9) = (10-x)e^{10-x}$$

Шаг 2. Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю: $$(10-x)e^{10-x} = 0$$

Поскольку $e^{10-x} > 0$ при любых $x$, то: $$10 - x = 0 \Rightarrow x = 10$$

Точка $x = 10$ лежит внутри отрезка $[-11; 11]$.

Шаг 3. Определим характер экстремума

При $x < 10$: $10 - x > 0$, значит $y' > 0$ — функция возрастает.

При $x > 10$: $10 - x < 0$, значит $y' < 0$ — функция убывает.

Следовательно, $x = 10$ — точка максимума.

Шаг 4. Вычислим значение в точке максимума

$$y(10) = (10-9)e^{10-10} = 1 \cdot e^0 = 1 \cdot 1 = 1$$

Это наибольшее значение на отрезке.