Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Шаг 1. Найдём производную функции

Дана функция $y = (x^2 - 10x + 10)e^{10-x}$. Это произведение, поэтому используем правило: $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u = x^2 - 10x + 10$, $v = e^{10-x}$.

• $u' = 2x - 10$
• $v' = e^{10-x} \cdot (-1) = -e^{10-x}$

Получаем: $$y' = (2x - 10)e^{10-x} + (x^2 - 10x + 10) \cdot (-e^{10-x})$$

Вынесем общий множитель $e^{10-x}$: $$y' = e^{10-x}[(2x - 10) - (x^2 - 10x + 10)]$$ $$y' = e^{10-x}[2x - 10 - x^2 + 10x - 10]$$ $$y' = e^{10-x}[-x^2 + 12x - 20]$$

Шаг 2. Найдём критические точки

Производная равна нулю, когда числитель обнуляется (экспонента всегда положительна): $$-x^2 + 12x - 20 = 0$$ $$x^2 - 12x + 20 = 0$$

По теореме Виета или через дискриминант: $x = 2$ или $x = 10$.

На отрезке $[5; 11]$ только $x = 10$ — критическая точка.

Шаг 3. Проверим знак производной

При $x = 9$: $-(81) + 108 - 20 = 7 > 0$ (функция растёт). При $x = 11$: $-(121) + 132 - 20 = -9 < 0$ (функция убывает).

Значит, $x = 10$ — точка максимума.

Шаг 4. Вычислим значения на концах и в критической точке

• $y(10) = (100 - 100 + 10)e^{0} = 10 \cdot 1 = 10$

Наибольшее значение на отрезке: 10.