Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Исследуем функцию $y = (3x^2 - 36x + 36)e^x$ на отрезке $[-1; 4]$.

Шаг 1. Вычислим производную.

У нас произведение двух функций: многочлена и экспоненты. Применяем правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$$y' = (3x^2 - 36x + 36)' \cdot e^x + (3x^2 - 36x + 36) \cdot (e^x)'$$

$$y' = (6x - 36)e^x + (3x^2 - 36x + 36)e^x$$

Вынесем $e^x$ за скобки:

$$y' = e^x(6x - 36 + 3x^2 - 36x + 36) = e^x(3x^2 - 30x)$$

$$y' = 3xe^x(x - 10)$$

Шаг 2. Найдём критические точки.

Производная равна нулю, когда: $3xe^x(x - 10) = 0$

Так как $e^x > 0$ для всех $x$, получаем: $x = 0$ или $x = 10$.

На отрезке $[-1; 4]$ только точка $x = 0$ является критической (точка $x = 10$ выходит за границы).

Шаг 3. Определим знаки производной.

На интервале $[-1; 0)$: $x < 0$ и $(x - 10) < 0$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает.

На интервале $(0; 4]$: $x > 0$ и $(x - 10) < 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает.

Значит, $x = 0$ — точка максимума функции на отрезке.

Шаг 4. Вычислим значения функции.

По теореме об экстремумах на отрезке, наибольшее значение достигается в точке максимума:

$$y(0) = (3 \cdot 0^2 - 36 \cdot 0 + 36) \cdot e^0 = 36 \cdot 1 = 36$$