Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Шаг 1. Найдём производную функции

Дана функция $y = (x-2)^2(x-4) + 5$.

Применим правило произведения к произведению $(x-2)^2(x-4)$: $$y' = [(x-2)^2]' \cdot (x-4) + (x-2)^2 \cdot [(x-4)]'$$

Вычислим каждую часть:

• $[(x-2)^2]' = 2(x-2)$
• $[(x-4)]' = 1$
• Производная константы $5$ равна $0$

Получаем: $$y' = 2(x-2)(x-4) + (x-2)^2$$

Шаг 2. Упростим производную

Вынесем общий множитель $(x-2)$: $$y' = (x-2)[2(x-4) + (x-2)] = (x-2)(2x-8+x-2) = (x-2)(3x-10)$$

Шаг 3. Найдём критические точки на отрезке $[1;3]$

Приравняем производную к нулю: $$(x-2)(3x-10) = 0$$

Отсюда $x = 2$ или $x = \frac{10}{3} \approx 3{,}33$.

Второй корень лежит вне отрезка $[1;3]$, поэтому внутри отрезка только $x = 2$.

Шаг 4. Определим характер экстремума

Проверим знаки производной:

• При $x \in [1;2)$: $(x-2) < 0$, $(3x-10) < 0$ → $y' > 0$ (функция возрастает)
• При $x \in (2;3]$: $(x-2) > 0$, $(3x-10) < 0$ → $y' < 0$ (функция убывает)

В точке $x = 2$ — максимум на отрезке.

Шаг 5. Вычислим значение в точке максимума

$$y(2) = (2-2)^2(2-4) + 5 = 0 \cdot (-2) + 5 = 5$$