Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование произведений

Шаг 1. Находим производную функции.

Дана функция $y = (x - 8)e^{x - 7}$. Применяем правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$$y' = (x - 8)' \cdot e^{x-7} + (x - 8) \cdot (e^{x-7})'$$

$$y' = 1 \cdot e^{x-7} + (x - 8) \cdot e^{x-7}$$

Выносим $e^{x-7}$ за скобки:

$$y' = e^{x-7}(1 + x - 8) = (x - 7)e^{x-7}$$

Шаг 2. Ищем критические точки на отрезке [6; 8].

Приравняем производную к нулю:

$$(x - 7)e^{x-7} = 0$$

Поскольку $e^{x-7} > 0$ для всех $x$, то $x - 7 = 0$, откуда $x = 7$.

Эта точка принадлежит отрезку [6; 8], поэтому она — кандидат на экстремум.

Шаг 3. Определяем характер критической точки.

Анализируем знак производной:

• При $x < 7$: множитель $(x - 7) < 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает
• При $x > 7$: множитель $(x - 7) > 0$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает

Вывод: $x = 7$ — точка минимума на отрезке.

Шаг 4. Вычисляем значение в точке минимума.

$$y(7) = (7 - 8)e^{7-7} = (-1) \cdot e^0 = -1 \cdot 1 = -1$$