Задача 26724. Исследование произведений

Шаг 1. Найдём производную, используя правило произведения.

Для функции $y = (3x^2 - 36x + 36)e^{x+36}$ применим формулу $(uv)' = u'v + uv'$:

$$y' = (3x^2 - 36x + 36)' \cdot e^{x+36} + (3x^2 - 36x + 36) \cdot (e^{x+36})'$$

Шаг 2. Вычислим каждую часть.

Производная многочлена: $(3x^2 - 36x + 36)' = 6x - 36$

Производная экспоненты: $(e^{x+36})' = e^{x+36}$

Подставим: $$y' = (6x - 36)e^{x+36} + (3x^2 - 36x + 36)e^{x+36}$$

Шаг 3. Вынесем общий множитель $e^{x+36}$.

$$y' = e^{x+36}[(6x - 36) + (3x^2 - 36x + 36)]$$

$$y' = e^{x+36}[3x^2 - 30x]$$

Шаг 4. Разложим квадратный трёхчлен на множители.

$$y' = e^{x+36} \cdot 3x(x - 10) = 3x(x-10)e^{x+36}$$

Шаг 5. Найдём критические точки.

Производная обнуляется, когда $3x(x-10)e^{x+36} = 0$. Поскольку $e^{x+36} > 0$ при всех $x$: $$x = 0 \text{ или } x = 10$$

Шаг 6. Определим знаки производной на интервалах.

• При $x < 0$: оба множителя $3x$ и $(x-10)$ отрицательны → $y' > 0$ (функция возрастает)
• При $0 < x < 10$: $3x > 0$, $(x-10) < 0$ → $y' < 0$ (функция убывает)
• При $x > 10$: оба множителя положительны → $y' > 0$ (функция возрастает)

Шаг 7. Определим тип экстремума.

При переходе через $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус — это точка максимума.

При переходе через $x = 10$ производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.